Systèmes d'unités

III - Liens entre définition et mise en pratique d'une unité

3.a - Réalisation pratique d'une unité

Nous avons expliqué précédemment qu'une unité est définie en fixant la valeur numérique d'une grandeur physique $C$. Pour que ceci puisse mener à une réalisation pratique de l'unité, il est nécessaire de disposer d'un phénomène physique, d'une expérience, qui relie la grandeur physique choisie a une grandeur physique $x$ dont l'unité est celle à mesurer, c'est-à-dire telle que la description théorique de l'expérience mène à une relation mathématique $f_{p_i}(C,x)=0$. Les $p_i$ désignent d'autres paramètres, mesurés dans des unités indépendantes de celle de $x$.

Comment par exemple passer de la définition du mètre "longueur parcourue dans le vide par la luumière en telle fraction de seconde" à une véritable mesure de longueur ? En réalisant une expérience qui implique $c$ et une longueur. Par exemple envoyer un faisceau laser vers un réflecteur, et mesurer le temps $T$ d'aller-retour. Cette expérience relie $L$ à $c$ via $L=c\times T$, $T$ étant mesuré indépendamment via la définition de la seconde, et permet donc une mesure de longueur basée sur la définition de l'unité mètre. Avec nos notations, $f_T(c,L)=L-cT=0$.

De même avec la nouvelle définition du kilogramme : il faut exhiber une expérience dans laquelle sont reliés la constante de Planck $h$ et une mesure de masse. C'est le cas de la balance de Kibble qui exploite l'équilibre entre une force exercée par une masse et une force magnétique, cette dernière étant induite par une tension au borne d'une résistance tous deux mesurés par des effets quantiques où $h$ intervient. La balance de Kibble fournit donc une relation $f(h,m) = 0$ qui permet, au choix : de mesurer $h$ si la masse $m$ est connue (utilisation avant 2018), ou de mesurer $m$ si la valeur numérique de $h$ est connue (utilisation après 2018).

Notons bien que pour une définition donnée d'une unité, plusieurs réalisations pratiques peuvent exister. Ainsi on ne mesure pas toujours des longueurs via une mesure de temps de vol de la lumière, mais aussi par interférométrie par comparaison avec des longueurs d'onde qui sont elles-mêmes déduites de mesures précises de fréquences de radiation. Plus les réalisations pratiques se déclinent à des échelles différentes, meilleur est le choix de définition de l'unité.

3.b - Redéfinition d'une unité

Prenons encore l'exemple du mètre, et le passage de la définition en fonction de la longueur d'onde du krypton à celle en fonction de la vitesse de la lumière. Le cheminement est le suivant :

• Il était possible, avant 1983, de mesurer la vitesse de la lumière $c$ avec des expériences de type temps de vol (même s'il y a d'autres moyens, nous prenons celui-ci pour illustration). Ainsi, une mesure de $L$ avec l'ancienne définition du mètre, et de $T$ avec la définition de la seconde, et l'utilisation de la relation $f_T(c,L)=L-cT=0$ de cette expérience, permet une mesure de $c$. Une série de mesures aboutit au résultat \begin{equation} \begin{split} &\text{mesure :} \\ &c = k\,\mathrm{m_\text{Kr}}, \\ &{}_\text{avec incertitude}~\Delta k~{}, \end{split} \end{equation} où $\mathrm{m_\text{Kr}}$ est le mètre défini par la longueur d'onde du krypton, et $k = \{c\}_\text{Kr}$ est la valeur numérique de $c$ mesurée avec cette unité. Il s'agit de mesures, il y a donc une incertitude $\Delta k$ sur cette valeur numérique.

• La communauté s'accorde sur une valeur $k_\text{def}$ issue des mesures les plus précises sur $k$. (Aujourd'hui c'est l'organisme CODATA qui réalise cet accord, pour $h$ par exemple.)

• Puis on retourne la définition : le nouveau mètre sera tel que la valeur numérique de $c$ exprimée dans cette unité est $\{c\}_\text{c} = k_\text{def}$.

  Ainsi, avec cette nouvelle définition, on réalise des mesures de longueur en utilisant encore la fonction $f$, mais différemment : on mesure $T$ indépendamment, on connaît $c$, on en déduit $L = \{L\}_\text{c}\text{m}_\text{c}$ où l'indice $c$ indique qu'il s'agit du mètre défini via $c$.

 

Nous pouvons tirer de ceci quelques conséquences :

• Les anciennes et nouvelles unités (ici $\mathrm{m_\text{Kr}}$ et $\mathrm{m_\text{c}}$) ne sont pas les mêmes. Leurs définitions diffèrent.

• Dans le nouveau système, la grandeur physique $c$ ne se mesure plus : elle vaut, par définition et sans incertitude, \begin{equation} c \equiv k_\text{def}\,\mathrm{m_\text{c}}~~~~{}_\text{(définition)}. \end{equation} C'est maintenant la longueur d'onde du krypton qui se mesure, avec une incertitude, en fonction du nouvel étalon : \begin{equation} \lambda_\text{Kr} = (k'\pm\Delta k')\,\mathrm{m_\text{c}}. \end{equation} Il y a donc un transfert de l'incertitude.

• Évidemment au moment du changement de la définition, on a choisi la valeur numérique de $c$ telle que donnée par les mesures les plus précises possibles dans l'ancien système. Les deux mètres sont donc, à ces incertitudes expérimentales près, les mêmes. Ce n'est donc que plus tard, en améliorant les mesures de $\lambda_\text{Kr}$, qu'une divergence pourra apparaître. Et c'est donc pour cela que, pour la plupart des utilisateurs, la redéfinition ne change rien.

• La fonction $f$ qui sert à mesurer la constante $C$ dans l'ancien système est la même dans le nouveau système, lorsqu'il s'agit de mesurer la grandeur $x$. On l'utilise simplement différemment. Ceci mène à une conclusion importante : la précision relative avec laquelle la constante $C$ est mesurée dans l'ancien système est du même ordre de grandeur que la précision relative avec laquelle on pourra mesurer la grandeur $x$ dans le nouveau système.

  C'est la raison pour laquelle il est nécessaire de disposer de dispositifs de mesure de la constante $C$ très précis avant d'envisager de fixer sa valeur numérique pour définir l'unité : si ce n'est pas le cas les réalisations pratiques de la nouvelle unité ne permettrons pas d'effectuer des mesures précises. À titre d'illustration on donne ci-dessous un graphique qui montre la précision relative des mesures de différentes grandeurs physiques avant leur emploi pour définir une unité. On notera que l'on n'est pas prêt d'utiliser $G$ pour définir la seconde !

  
  
  Source : Matthieu Thomas, Détermination de la constante de Planck au moyen d'une balance du watt, thèse de doctorat, 2016 (lien sur theses.fr)

Enfin, le tableau ci-dessous illustre le transfert d'incertitude entre les grandeurs dans le SI d'avant 2019 et d'après 2019.

\begin{array}{|c|c|} \hline \text{SI avant 2019} & \text{SI après 2019} \\ \hline m_\mathrm{PIK}\equiv1\,\mathrm{kg} & m_\mathrm{PIK}=1.000\,000\,00(1)\,\mathrm{kg} \\ h = 6.626\,070\,150(69)\times 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s} & h \equiv 6.626\,070\,15\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s} \\ \hline M_\mathrm{{}^{12}C}\equiv12\,\mathrm{g\cdot mol^{-1}} & M_\mathrm{12C} = 12.000\,000\,000\,0(54)\,\mathrm{g\cdot mol^{-1}} \\ N_A = 6.022\,140\,758(62)\times10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}} & N_A \equiv 6.022\,140\,76\times10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}} \\ \hline \mu_0/(4\pi) \equiv 10^{-7}\,\mathrm{H/m} & \mu_0/(4\pi) = 1.000\,000\,000\,00(23)\times10^{-7}\,\mathrm{H/m} \\ e = 1.602\,176\,6341(83)\times10^{-19}\,\mathrm{C} & e \equiv 1.602\,176\,634\times10^{-19}\,\mathrm{C} \\ \hline T_\mathrm{triple,H_2O} \equiv 273.16\,\mathrm{K} & T_\mathrm{triple,H_2O} = 273.16000(10)\,\mathrm{K} \\ k_B = 1.380\,649\,03(51)\times10^{-23}\,\mathrm{J\cdot K^{-1}} & k_B \equiv 1.380\,649\times10^{-23}\,\mathrm{J\cdot K^{-1}} \\ \hline \end{array}

Exemples de grandeurs physiques dont les valeurs numériques sont fixées ou non, avant ou après la redéfinition de 2019 du kilogramme, de la mole, de l'ampère et du kelvin.\newline Le symbole $\equiv$ signifie que la valeur numérique est fixée pour définir l'unité. Nous avons noté les unités de la même façon entre avant et après redéfinition, mais comme souligné ci-dessus, ce ne sont en toute rigueur plus les mêmes. Source : CODATA 2017

Remarquons que le nombre de chiffres significatifs retenu sur les nouvelles valeurs numériques fixées donne une idée de la précision des mesures au moment de la redéfinition. Enfin, soulignons que les valeurs numériques d'autres grandeurs deviennent fixées après 2019 (la constante de Stefen $\sigma$, le nombre de Faraday $F=N_Ae$, la constante des gaz parfaits $R=N_Ak_B$, les constante de Hall et de Klitzing) ou ne le sont plus ($\varepsilon_0$, ...).

3.c - Conclusion

Ainsi, la redéfinition d'une unité suit toujours les mêmes étapes :
ancienne unité basée sur la fixation de la valeur numérique d'une grandeur physique $\rightarrow$ Choix d'une nouvelle grandeur de référence, et mesure précise de cette grandeur $C$ en terme de l'ancienne unité (via une expérience dont le modèle mène à une relation du type $f(C,x)=0$) $\rightarrow$ Accord sur une valeur de référence de $\{C\}$ $\rightarrow$ Valeur de $\{C\}$ fixée, ce qui redéfinit l'unité

Il y a un transfert d'incertitude : l'ancienne grandeur physique de référence doit maintenant être mesuré en fonction de la nouvelle unité.

L'expérience $f(C,x)=0$ qui a permis les mesures de $C$ dans l'ancien système peut être "retournée" pour fournir une réalisation pratique de la nouvelle unité. La précision relative des mesures de $C$ dans l'ancien système est donc également celles des mesures dans la nouvelle unité.

C'est ce même cheminement qui sera suivi en 2018-19 pour le kilogramme, avec un transfert de l'incertitude de la constante de Planck vers la masse du PIK : avant 2018 la valeur numérique $\{h\}$ peut être mesurée, alors que $\{m_\text{PIK}\}$ est fixée ; après 2018 la valeur numérique $\{h\}$ sera fixée, mais $\{m_\text{PIK}\}$ sera mesurée.

La même chose s'est produite pour la redéfinition de la seconde en 1967, etc...